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By b l van der waerden

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Example text

Man ordnet also zunächst jedem Punkte p gewisse Basismengen U (P) zu, die folgende Bedingungen erfüllen: U 1 . Zu jedem p gibt es Basismengen U (P) und jede enthält p. U 2 • Zu zwei Basismengen U(P) und V(P) gibt es eine Menge W(P), die in beiden enthalten ist. Mit Hilfe dieser Basismengen definiert man nun die otJenen Mengen M als solche Mengen, die mit jedem ihrer Punkte p eine ganze Basismenge U (P) umfassen. Die so definierten offenen Mengen haben offensichtlich die Eigenschaften I. ; es liegt also ein topologischer Raum vor.

Der Riemann-Rochsche Satz Jetzt sind wir bald am Ziel. Wir definieren zunächst das Produkt u A aus einer Funktion u und einem Covektor A. Das Produkt wird als lineare Abbildung von Q3 in LI so definiert: (1) V . UA = V u . A. Die Operation . u A hat offensichtlich die Eigenschaft A, Bund C von § 87, also ist durch (1) ein Co vektor UA definiert. Ist A ein Differential, so ist U A es auch: v . U A= v U . A= 0 für alle v. Die folgenden Hilfssätze sind fast selbstverständlich. Lemma 1. Ist A ein Multiplum von D = IIpd, so ist V· A=0 0 für alle durch D-l teilbaren Vektoren V, und umgekehrt.

3 34 XII. Topologische Algebra so erhalten werden. Wir können aU (e) eine "nach a verschobene Umgebung von e" nennen. Wir sehen also, daß die Topologie einer T-Gruppe vollständig bestimmt ist, sobald eine Basis für die Umgebungen von e bekannt ist. Wir bezeichnen die Umgebungen einer solchen Basis mit U (oder auch V, W, .. ). Welche Eigenschaften müssen diese Mengen U haben, damit C mit den verschobenen Umgebungen U (a) = aU (e) zu einer topologischen Gruppe wird? Folgende Eigenschaften sind jedenfalls notwendig: EI' Jedes U enthält e (folgt aus U I, § 93).

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